فعلى وزان حدوث زاوية المسامتة تدريجا كان يجب حدوث خط من سيلان نقطه التقاطع الذي بين الخط الغير المتناهي والخط المسامت له على وجه يكون لتلك النقطة السيالة بل للخط الذي حدثت من سيلانها بل لذلك الخط المفروض أولا أول بمعنى طرف يبتدئ منه النقط المتصلة السمتية وان لم يكن لها أو للخط المذكور أول بالمعنى الاخر يعنى أول الآنات الذي حدثت فيه الزاوية وما بإزائها من النقط.
البرهان الثاني لو كانت الابعاد غير متناهية لجاز ان يخرج امتدادان عن مبدء واحد كساقي مثلث لا يزال البعد بتزائد إلى غير النهاية فيكون مقدار الانفراج بين الخطين على نسبه مقدار الامتدادين الغير المتناهي فيكون غير متناه أيضا مع كونه محصورا بين حاصرين هذا خلف وهذا هو المسمى بالبرهان السلمي وقد شرحناه وما يرد عليه وما يمكن الذب عنه في شرح الهداية.
البرهان الثالث نفرض بعد أب غير متناه اما من الطرفين أو من طرف واحد وعلى التقديرين يفرض فيه حد وليكن ج وحد آخر وهو د فيكون خط ج ب الغير المتناهي في طرف ب أزيد من خط د ب الغير المتناهي في طرف ب بمقدار ج د فإذا فرضنا انطباق نقطه د على نقطه ج فلا يخلو اما ان يمتدا معا إلى غير النهاية فيكون الزائد مثل الناقص وهو ممتنع أو يقصر د ب عنه فيكون متناهيا في طرف ب منقطعا وج ب أزيد من د ب بمقدار ج د المتناهي فيكون المجموع أعني ج ب متناهيا في جهة ب وهو المطلوب قال الإمام الرازي وعلى هذا البرهان شك يعسر حله وهو ان تطبيق نهاية الناقص على نهاية الزائد انما يمكن على أحد وجوه ثلثه أحدها ان يتحرك الناقص بكليته إلى جهة نهايته حتى ينطبق نهايته على نهايته أو يتحرك الزائد بكليته عن جهة نهايته حتى ينطبق النهايتان.
وثانيها ان يزداد الناقص أو ينتقص الزائد حتى يتطابقا في الطرف.
وثالثها ان يكونا بحالهما ولكنه يوضع نهاية الزائد على نهاية الناقص وحينئذ يظهر في الزائد فضله لا ينطبق بها على الناقص بل يبقى متجافية عنه