(1) الظاهر أن علم الحساب عند القدماء كان له ثلاث مراتب، وهي: ما لا يحتاج إلى أي آلة، وما يحتاج إلى آلة ولا يحتاج إلى تعلم الكتابة، وما يحتاج فوق ذلك إلى الكتابة.
فالنوع الأول وهو المسمى بالهوائي، كان يستعمله الجهال، لأنه يتشكل من قواعد بسيطة جدا.
والنوع الثاني فهو على قسمين الأول يسمى حساب عقود الأنامل أو جمل العقود، والثاني يسمى حساب الميل (چوتكه)، ففي حساب عقود الأنامل كانوا يستعملون الأنامل وعقودها وكيفية قبضها وبسطها لاعلام ما في ضمير هم من الاعداد لمن يكالمهم من دون ان يعلموا لغته التي يتكلم به وينسب هذا القسم إلى المصريين القدماء، وقد الف في هذا القسم خاصة كتبا كثيرة يأتي بعضها (العدد 34 وما بعدها) وفي القسم الثاني كانوا يستعملون آلة تسمى (چوتكه) - لفظة روسية بمعنى السبحة - وهي أميال متعددة محصورة رأسها بين خشبتين، وفي كل ميل تسعة خرز، فالميل الأول تمثل مرتبة الآحاد، والميل الثاني العشرات، والثالث المآت وهكذا، والخرز في كل ميل تمثل اعداد تلك المرتبة.
والنوع الثالث الحساب الكتبي، وهو أيضا على قسمين، حروفي وهو حساب الجمل، ورقمي، ففي الحروفي كانوا يستعملون حروف الهجاء بدل الأرقام، فاليونانيون واليهود كانوا يستعملون هذا النوع والحروف التسعة الأولى من حروف الهجاء كانت تمثل عندهم الآحاد، والتسعة الثانية منها تمثل العشرات، والتسعة الثالثة المآت، وللألف كانوا يرجعون إلى الأول مع علامة تميز الآحاد عن آحاد الألوف، وهكذا. ومنهم أخذ العرب فغيروا ترتيب حروفهم (ا ب ت ث) وجعلوها على ترتيب حروف أولئك (ا ب ج د = A B C D) وزادوا عليهم أن خصوا (غ) للألوف. اما الهنود والفرس والرومان والفيثاغورسيون من اليونان فكانوا يستعملون الأرقام بدل الحروف. فأرقام الفيثاغورسيين كانت تتشكل من نقط متعددة، وأرقام الرومان هي (I - II - III - IV الخ) وهي مأخوذة من ستة حروف (I, V, X, L, C, M) وأرقام الفرس الپهلوية مأخوذة من الحروف الآرامية وهذه شكلها (د = 1، س‍ = 2، ص س‍ = 5، و = 10، ل‍ = 20 وغيرها) وفي أواخر العهد الساساني اخذوا من الهنود أرقامهم ونقلوها بعد ذلك إلى المسلمين، ثم أوجدوا في حدود القرن البقية في الصفحة 4