الرابع نفرض ساقي مثلث كيف اتفق فللانفراج إليهما نسبة محفوظة بالغا ما بلغ فلو ذهبنا إلى غير النهاية لكان ثمة بعد متناه نسبته إلى غير المتناهي كنسبة المتناهي إلى المتناهي هذا خلف الخامس أنا نقسم ترسا بستة أقسام يحيط بكل قسم ضلعان ثم نخرج الأضلاع إلى غير النهاية ثم نردد في كل قسم فنقول هو إما غير متناه فينحصر ما لا يتناهى بين حاصرين وإما متناه فكذا الكل لأنه ضعف المتناهي بمرات متناهية وهذا كالتتمة والتوضيح للبرهان السلمي لأن كل قسم من الستة كمثلث متساوي الأضلاع السادس التطبيق وطريقه أن نفرض من نقطة ما إلى غير النهاية خطا ومن نقطة قبلها بمتناه خطا آخر ثم نطبق الخطين فالناقصة إما مثل الزائدة أو تنقطع فينقطعان كما تقدم مرتين السابع أنا نفرض خطا غير متناه من الجانبين ثم نعين عليه نقطتين بينهما بعد متناه ونشير إلى نقطة فنقول هي إما المنتصف أو لا فإن كانت المنتصف كان منها في الجانب الآخر مثله فيكون من النقطة الأخرى في ذلك الجانب أقل منه فنطبق أحدهما بالآخر ويتم الدليل وإن لم تكن المنتصف كان أحدهما أقل من الآخر ونمضي احتج الخصم بوجوه الأول ما وراء العالم متميز فإن ما يلي يمينه غير ما يلي يساره ضرورة والمتميز لا يكون عدما محضا فهو إذا بعد والجواب منع التميز وإنما ذلك وهم الثاني أنه متقدر فإن ما يوازي ربع العالم أقل مما يوازي نصفه وكل متقدر فهو كم والجواب أن التقدر وهم الثالث أنا لو فرضنا واقفا على طرف العالم فإن أمكنه مد يده فيما وراءه فثمة فضاء متقدر إذ ما يسع إصبعا أقل مما يسع اليد كلها وإن لم يمكنه فثمة جسم مانع وعلى التقديرين فثمة بعد والجواب لا نسلم أنه لو